引言
當需要定義一個數據的特征時,如變化的比例、曲線上下邊的漸近線或者 EC50/IC50值時，選擇正確的曲線擬合方式是十分關鍵的。選擇的曲線擬合方式應該是能夠最準確的反映兩個已知變量 (x,y) 的關系。因此，曲線擬合的目的就是為了尋找最佳的公式和參數來匹配數據。
SoftMax Pro 7軟件能夠提供 21 種曲線擬合方式，包括四參數 (4P) 和五參數 (5P) 非線性回歸分析。多種的擬合方式選擇，是為了確保能夠找到適合數據的最佳擬合方式，并且能夠通過調整所選擬合方式的參數來得到最能反映濃度響應變化關系的曲線圖。
本文將介紹在 SoftMaxPro7 軟件中能夠運用的線性和非線性回歸分析方法。另外，本文還給出了如何利用標準方差和阿凱克信息論準則來評估選擇的擬合方式是否最合適。
優勢
- 利用一種高效免洗實驗方法來測定細胞活性
- 準確定量活細胞或死細胞
- 通過預設分析模塊快速獲得相關統計學結果
線性回歸
線性回歸擬合是最常見的數據擬合方式。它可以用下面的公式表示出來，y = A + Bx。其中x代表自變量 ( 一般是濃度等變量 ) ,y 代表因變量；B 值代表的是該公式對應直線的斜率，而 A 值則為 x = 0 時的 y 軸截距。SoftMax Pro提供三種線性擬合方式：y = A + Bx, semi-log y = A + B* log10 (x), log-log log10 (y) = A +B* log10 (x)。軟件可以通過數據分析中找到最佳的直線公式 ( 圖表1 )。
在計算線性范圍時，最小的標準品數據取點為 3 個，但是更多標準品數據能夠提高擬合的準確性。這種擬合方式最大的優點就是計算簡單。但是，大多數情況下，數據間的關系都是非線性的。
非線性回歸
在測量值和變量為非線性關系時，通常使用logistic 回歸分析。這種擬合方式的目的是為了找到最佳的公式參數來使公式計算的理論值和測量值之間的背離最小。為了能夠正確地選擇最佳的擬合方式，需要理解標準的曲線形狀，并將他們與實際數據點的形狀進行比較。
SoftMax Pro 軟件提供了 17 種非線性曲線擬合方式。它包括：二次方擬合，三次方擬合，四次方擬合，log-logit，cubicspline，指數函數，直角雙曲線，兩參數指數函數，雙指數函數，雙直角雙曲線，兩點競爭，高斯擬合，Brain-Cousens，四參數擬合，五參數擬合和五參數交替擬合。SoftMax Pro 軟件使用最廣泛使用的迭代過程，Levenberg Marquardt 算法，來獲得最佳的非線性擬合方式。四參數和五參數擬合是最常見的兩種非線性曲線擬合方式，均適用于 S 形曲線的回歸分析 ( 圖2 )。
這類曲線擬合方式需求至少 4 個或 5 個數據點，使用 6 個以上的數據點能夠獲得更加準確的擬合公式。四參擬合表示為下列公式，y = ((A-D) / (1 + ((x/C)^B))) + D。其中 y 是相應值，D 值是無限分析物濃度下的響應值，A 是零分析物濃度下的響應值，x 是分析物濃度，C 是拐點值 (EC50/IC50)，B 是斜率參數。而響應的變化規律是：當A < D 時，y 值是正比于 x 值變化的；當 A> D 時，y 值是反比于 x 值變化的。四參數曲線是一個對稱的曲線，曲線的一側和另一側以 EC50/IC50 中心點完全點對稱。而對于一些免疫實驗或生物測試的數據,其數據圖形并不對稱，因此需要而外的變量來衡量該數據的復雜性。在這種情況下，五參數擬合方式能夠通過引入一個新的參數 G ( 表二 ) 很好的反映出這類數據的特征。五參數擬合的通用公式為：y =((A-D) / (1 + ((x/C)^B)) ^G) + D。不對稱參數 G 可以使曲線的兩部分不一致。但是需要說明的是，當 G 值很小或者需要平行線(PLA) 分析時，建議使用四參數擬合方式來獲得更好的擬合效果。
選擇最佳的曲線擬合方式
曲線擬合后的好壞，尤其是標準曲線的建立，需要使用精準的數據來對其進行評估。重復實驗設置對于獲取好的曲線擬合是十分重要的，而單次實驗隨機性會使曲線擬合的效果很差。R2 值是用來評估曲線擬合好壞的一個很好的指標。通常來說，當 R2 值大于 0.99 時，曲線擬合效果被認為是很好的。但是當標準偏差隨著樣品的濃度變化而變化時，R2 值出現偏差而不準確。理想的情況是標準偏差在所有濃度樣品下都應該一致，適用于方差一致性的數據；但是不是所有的情況都是標準偏差隨著樣品的濃度增加而增加，這時 R2 的就不適用了，需要新的方法衡量。
使用赤池信息量準則 (AIC) 和 F 分布下的統計量方法進行的誤差平方和 (SSE) 被用來標準化這些異方差數據。這兩種方法在衡量測定值和選擇的擬合曲線的理論值之間的誤差時是十分相似的方法。由于 SSE方法需要使用殘差和殘差圖，因此該方法又稱為殘差平方和法。殘差的定義是指在每個選定濃度下，實際的響應值y和所選擬合曲線所得的理論響應值 y′ 的差異性，即殘差 = 測定數據-擬合數據 = y - y′。殘差代表的是隨機偏差。因此，當曲線擬合方式符合數據時，殘差圖中點的分布應該是圍繞 y = 0 軸的隨機點 ( 圖表 3A )。如果殘差圖中點的分布情況是有規律的 ( 圖表3B )， 那么很明顯該數據的曲線擬合方式是很差的。