卡方檢驗的功效和樣本量之間存在密切關系，主要表現為以下幾點：
一、樣本量增加，功效提高
原理：
卡方檢驗的功效是指當原假設不成立時，正確拒絕原假設的概率。樣本量越大，提供的信息就越多，對總體的估計就越準確，從而更容易檢測出實際存在的差異或關聯，即功效越高。
當樣本量較小時，卡方統計量的波動較大，可能會因為偶然因素而無法拒絕原假設，即使原假設實際上是錯誤的。而隨著樣本量的增加，卡方統計量的穩定性增強，能夠更可靠地反映實際情況，提高功效。
舉例：
假設研究某種藥物對疾病的治療效果，將患者分為用藥組和對照組。如果樣本量很小，可能由于個別患者的特殊情況導致兩組的有效率差異不明顯，從而無法拒絕原假設，認為藥物無效。但當樣本量增加時，能夠更準確地反映藥物的真實效果，如果藥物確實有效，就更有可能檢測出這種差異，提高功效。
二、樣本量過小，功效降低
問題表現：
當樣本量過小時，卡方檢驗的功效會顯著降低。一方面，每個單元格的期望頻數可能會過小，不符合卡方檢驗的適用條件，導致結果不準確。另一方面，小樣本量下卡方統計量的分布可能與理論分布有較大偏差，使得檢驗的可靠性降低。
例如，在比較兩個小樣本的比例時，如果樣本量只有幾十甚至更少，即使兩個比例之間存在較大差異，也可能由于樣本量不足而無法檢測出來，功效很低。
解決方法：
如果樣本量過小，可以考慮增加樣本量，或者采用其他更適合小樣本的檢驗方法。例如，對于二分類變量且樣本量較小時，可以使用費希爾精確檢驗。
三、樣本量確定與功效要求
在進行卡方檢驗之前，通常需要根據研究目的和預期效果來確定所需的樣本量。如果希望達到較高的功效，就需要較大的樣本量。
一般來說，功效越高，所需的樣本量就越大。同時，功效還受到效應大小（即實際存在的差異或關聯程度）、顯著性水平等因素的影響。
例如，在設計一項研究時，如果預期要檢測出較小的差異或關聯，并且希望功效達到 80% 以上，那么就需要較大的樣本量。可以通過功效分析的方法，根據預期的效應大小、顯著性水平和功效要求來計算所需的樣本量。
總之，卡方檢驗的功效與樣本量密切相關，樣本量越大，功效越高，但同時也要考慮實際情況和成本等因素，合理確定樣本量。