實驗數據的數理統計基礎

1、有關名詞解釋

(1)總體和個體

①總體又稱母體,是指研究對象的全體或某項測定對象的全體。如測定某樣品的全體測定值,就是一個總體。

②個體全體中的一個單位,稱個體。測定某樣品的全體測定中的每個測定,就是一個個體。

(2)樣本和樣本容量

①樣本總體的一部分稱為樣本。是指從總體中隨機抽取出有限個個體的集合。

②樣本容量是樣本所含個體的數目。

(3)統計量

樣本的函數稱為統計量。如常用的樣本、方差S²、標準偏差、相對標準偏差、極差等。

2、正態分布

在分析測試中,測量值和測定誤差都是隨機變量,它遵從一定的概率分布。若有n個測定值x₁,x₂…,x_n,當n足夠大時,這幾個測定值通常表現為正態分布,其分布曲線可以用正態概率密度函數來表示。

或表示為:

式中,x為該分布中隨機抽取的樣本值;為正態分布的總體均值,即期望值;為正態分布的總體標準偏差。

測量中隨機誤差的分布與測量值的分布一樣,也遵從正態分布函數。

正態分布可以用兩個參數來描述,就是算術平均值了和標準偏差平均值定出了分布的中心,標準偏差表示了數據的分布情況,所以若知道了某一正態分布的均值亍和標準偏 曲線見圖1。

經計算得到:在正態分布中,樣本分布,68.26%在的范圍內,95.44%在的范圍內,99.73%在的范圍內。

圖1-正態分布曲線

3、 t分布

在分析測試中,通常測量次數n比較少,可能只有3?5次,屬于小樣本的測試,t分布就是小樣本測試數值和隨機誤差的分布規律。它是與正態分布相似的一種統計分布。t是一個統計量,定義為:

式中,為一樣本平均值;為一樣本真值;是一樣本均值的標準偏差;S_x是單次測量值的標準偏差。

t分布的概率密度函數f(t)曲線見圖2。

圖2-t分布曲線圖

t分布可以用 t 和 f / (自由度)來描述。

t分布曲線形狀與正態分布相似,隨著f增大,t分布曲線接近正態分布曲線,與時,二者是嚴格一致的。所以小樣本的數據統計處理可以按正態分布一樣的進行。由1式可以得到2式,它表示了總體平均值的置信區間:

t值取決于約定顯著水平α(置信度為1一α)和樣本的容量n。

4、 F分布

兩個獨立的隨機樣本分別來自兩個獨立的總體,如第一個樣本(x₁,x₂,...x_n)為總體N(,)的一個隨機樣本,而第二個樣本(x₁,x₂,...x_n)為總體N(,)的一個隨機樣本。它們的方差分別和,則統計量F為

 f(F)分析概率密度數曲線是不對稱的,它取決于F值和在計算兩個樣本方差和時的自由度f₁和f₂。

利用F分布可以檢驗兩個或兩個以上均數差別的顯著性方法。F檢驗即是方差檢羚,兩個均數間差異可以用t檢驗,也可以用F檢驗,但檢驗兩個以上均數差別是否具有顯著性時只能用F檢驗。利用F分布表查出相應的概率,用F_0.05(f₁,f₂)和F_0.01 (f₁,f₂)值為顯著性界限。