自由度的大小與卡方檢驗結果的顯著水平有以下關系：
一、對臨界值的影響
隨著自由度的增大，卡方分布的曲線逐漸變得更加平緩，峰值向右移動。這意味著在相同的顯著水平下，自由度越大，對應的卡方臨界值就越大。
例如，在顯著水平為 0.05 的情況下，當自由度為 2 時，卡方臨界值可能是 5.99；而當自由度為 10 時，臨界值可能變為 18.31。
二、對顯著性判斷的影響
當計算得到的卡方值固定時，自由度越大，越不容易達到顯著性水平。因為較大的自由度需要更大的卡方值才能被認為是顯著的。
相反，自由度越小，在相同的卡方值下更容易達到顯著性水平。這是由于小自由度下卡方分布曲線較陡峭，較小的卡方值就可能超過臨界值。
例如，計算得到的卡方值為 8。如果自由度較小，可能這個值就足以使結果在給定顯著水平下顯著；但如果自由度很大，這個卡方值可能就不足以達到顯著性水平。
三、反映樣本信息和可靠性
自由度可以看作是樣本信息的一種度量。較大的自由度通常意味著更多的樣本信息，這使得檢驗結果更加可靠，但同時也要求更強的證據（即更大的卡方值）才能得出顯著的結論。
較小的自由度意味著樣本信息有限，雖然可能更容易達到顯著性水平，但結果的可靠性可能相對較低。
綜上所述，自由度的大小與卡方檢驗結果的顯著水平密切相關，它影響著臨界值的大小、顯著性判斷以及結果的可靠性。