卡方檢驗（Chi-Square Test）是一種用途廣泛的非參數檢驗方法，主要用于檢驗兩個分類變量之間的獨立性。其基本原理如下： **一、數據的表示形式** 卡方檢驗通常涉及一個列聯表（Contingency Table），也稱為交叉表。假設我們有兩個分類變量\(A\)和\(B\)，變量\(A\)有\(r\)個類別，變量\(B\)有\(c\)個類別。那么這個列聯表就是一個\(r×c\)的表格，其中的每個單元格表示同時屬于變量\(A\)的某個類別和變量\(B\)的某個類別的觀測頻數（Observed Frequency，記為\(O\)）。 例如，我們研究性別（男、女兩個類別）與對某產品的偏好（喜歡、不喜歡、無所謂三個類別）之間的關系，就可以構建一個\(2×3\)的列聯表。 **二、期望頻數的計算** 1. 基本概念 - 在卡方檢驗中，我們需要計算每個單元格的期望頻數（Expected Frequency，記為\(E\)）。期望頻數是在假設兩個變量獨立的情況下，每個單元格中理論上應該出現的頻數。 2. 計算公式 - 對于列聯表中的任意一個單元格，其期望頻數的計算公式為\(E=\frac{( 行總和×列總和) }{總樣本量}\)。 - 例如，在上述性別與產品偏好的列聯表中，如果總樣本量為\(200\)，其中男性有\(120\)人，女性有\(80\)人；喜歡該產品的有\(100\)人，不喜歡的有\(60\)人，無所謂的有\(40\)人。那么對于男性且喜歡該產品這個單元格，期望頻數\(E=\frac{120×100}{200}=60\)。 **三、卡方統計量的計算** 1. 基本公式 - 卡方檢驗的核心是計算卡方統計量（Chi-Square Statistic），其計算公式為\(\chi ^{2}=\sum\frac{(O-E)^{2}}{E}\)，其中\(O\)是觀測頻數，\(E\)是期望頻數，求和是對列聯表中的所有單元格進行。 2. 含義解釋 - 卡方統計量反映了觀測頻數與期望頻數之間的差異程度。如果觀測頻數與期望頻數非常接近，那么卡方統計量就會很小，說明兩個變量之間可能是獨立的；反之，如果觀測頻數與期望頻數差異很大，卡方統計量就會很大，說明兩個變量之間可能存在關聯。 **四、卡方檢驗的決策** 1. 確定自由度 - 卡方檢驗的自由度（Degrees of Freedom，記為\(df\)）與列聯表的行數\(r\)和列數\(c\)有關，計算公式為\(df=(r - 1)×(c - 1)\)。 - 例如，在一個\(2×3\)的列聯表中，自由度\(df=(2 - 1)×(3 - 1)=2\)。 2. 與卡方分布比較 - 計算出卡方統計量和自由度后，將卡方統計量與特定自由度下的卡方分布進行比較。通常，我們會設定一個顯著性水平（如\(α = 0.05\)）。 - 如果計算得到的卡方統計量對應的\(p\)值小于設定的顯著性水平，我們就拒絕原假設，認為兩個變量之間存在關聯；如果\(p\)值大于等于顯著性水平，我們就接受原假設，認為兩個變量之間是獨立的。 綜上所述，卡方檢驗通過比較觀測頻數與期望頻數的差異，利用卡方統計量和卡方分布來判斷兩個分類變量之間是否存在關聯。
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