6學者熱議中國數學教育的困境與出路

  本文是《國家科學評論》（National Science Review, NSR）Forum文章“Predicament and outlook of China’s math education”的中文版本。

數學是科學的根基，也是理性思考的基礎。

如果一個社會擁有普遍較高的數學水平，其科學研究和民眾素質也必然更富創造力、更具邏輯性。而面向青少年的數學教育正是養成民眾數學思維的基礎性工程。

長期以來，中國的教育體系與西方國家存在較大區別，我們曾培養出了許多數學奧賽冠軍，卻也被批評為缺乏創造性。

在這次舉辦于2020年春季的NSR論壇中，中學、大學、研究生階段的數學教育者，以及活躍在各學科的數學工具使用者齊聚一堂，討論中國數學教育的現狀、困境與出路。

高中數學：中國的選修課與美國的先修課

田剛：

中學是數學教育的基礎階段，我們從這里開始討論。

夏志宏：

據我所知，美國課程的自由度非常大，你可以選擇不同難度的數學課，可以一個學期上好幾門數學課，也可以一個學期完全不學數學。但是中國的高中課程似乎都是固定的？

朱華偉：

中國的課程在義務教育階段（小學、初中）都是固定的，但高中階段有一定彈性。按照2003年版的課標，高中課程分為必修、選擇性必修和選修三類。

其中選修課有16門，包含差分方程、數論、密碼、球面幾何、對稱與群等各種內容。但是實踐證明，這種選修課制度是失敗的。因為在幾乎所有的學校，都找不到能夠講授所有這16個專題課程的老師。

從2020年秋季開始，將開始使用新的教材，這一版教材在原有的基礎上做了大幅度的壓縮，去掉了很多高中生難以掌握的選修內容。當然這樣一來，高中課程的彈性也有所下降。

在課標規定的選修課程之外，一些學校還會開設自己的選修課。

深圳中學就開設了微積分、統計學、線性代數等大學先修課程，以及數學建模、數學競賽等選修課。我知道在美國，高中開設大學先修課程（Advanced Placement，AP）的情況更加普遍。

李增滬：

在三類高中課程中，必修和選擇性必修加在一起，大致相當于高考的命題范圍，而選修課程，也包括AP課程，是基本不出現在高考命題中的。

湯超：

在美國，AP課程對學生申請高校是有幫助的，也可以認定為大學學分。但是在中國，選修課與高考無關，所以學校不會用心教，學生也不那么想學，家長更不愿意學生去學。

朱華偉：

沒錯，在深圳中學，選修AP課程的大部分學生都是打算出國讀大學的，要參加高考的學生很少去學。

夏志宏：

AP課程是很有意義的，哈佛和普林斯頓等美國一流大學的很多大一新生就可以上非常高深的數學課，二年級就可以上研究生課程，這是中國學生做不到的。

楊金龍：

確實如此，我給中國的大一新生上課時發現，很多物理、化學的專業課中要用到微積分、線性代數等數學知識，但是學生們在高中階段完全沒有接觸過這些內容，所以我們經常需要先停下來，花一兩個星期的時間給他們補充數學知識，才能繼續講專業課。也就是說，中國的課程體系中，中學和大學之間的銜接還不夠順暢。

如果這個情況不改變，會對學生造成很大的影響。如果學生在大一的專業課程中就遇到了困難，會對他（她）的學習興趣造成很大的打擊，要想在后面趕上來也非常困難。

朱華偉：

其實在20世紀80年代的時候，我們曾經編寫過高中的微積分教材，但是當時被很多人反對，認為高中的老師教不好微積分，學生們進入大學之后還是要重新再學。這樣的爭論一直存在。

李增滬：

在不同的國家，高中和大學課程之間的銜接方式也不同。在美國是通過高中生選修AP課程的方式，在法國則是預科制度。

法國的大部分高中生畢業之后會去讀大學，另一部分最優秀的畢業生會進入預科學校，在那里用兩年的時間，像中國學生備戰高考一樣，非常認真地去學習微積分等基礎課程。預科學習結束之后，經過嚴格的選拔，進入法國的“精英學院”學習。

在法國，“預科+精英學院”的模式是非常成功的，為法國培養了非常多的科技、管理等領域的優秀人才。

如果中國要借鑒外國的模式，我想相對來講，美國的AP課程模式比法國的模式更有可行性，更適合中國的實際情況。

實際上，中國已經開始嘗試AP課程了，但是在實際實施過程中，如何讓AP課程與高校招生掛鉤、如何實現AP課程的大學學分認證，每一步都是非常困難的。但是無論如何，這都是值得我們去嘗試的方向。

應試教育：浪費掉的17歲

湯超：

有北大的本科生跟我說，他們在高中的最后一年是學不到新東西的，他們會覺得這一年是浪費掉的。

朱華偉：

中學數學教育受制于高考，以高考為導向的應試教育產生了一些不良影響。

首先，應試教育之下，只能是考什么教什么，考什么學什么。經過多年的實踐，中國的高考命題已經爐火純青，題量、題型，甚至題目的順序都是固定的。

所以全中國的高中都是一樣，都圍繞著同樣的題型，花大量的時間對學生進行反復訓練，以能夠做得對、做得快、做得準，在高考中取得好成績為唯一的目標。

第二，這種訓練常常扼殺了學生學習數學的興趣。為了在高考中取得好成績，就必須進行大量、重復、機械性的訓練，最終實現條件反射式的“一看就會、一做就對”。

在這樣的訓練之下，很多本來喜歡數學的同學無法感受到獨立思考和獲取新知識的樂趣，喪失了對數學的興趣。

第三，通過應試訓練選拔出來的學生，通常后勁不足。

在高中教學中我們就發現，那些經過機械化訓練而在中考中取得好成績、考入深圳中學的學生，在高中三年中的表現普遍并不理想。

我想高考也是一樣，很多高考狀元后來的發展也并不出類拔萃，反而是一些通過競賽進入北大清華的學生，在進入大學之后依然表現出色。

第四，也是最重要的一點，高中三年級整整一年的黃金年華是空轉的，這會影響國家未來的競爭力。

對孩子們來說，高三這一年剛好是18歲成人之前的一年，是他們記憶力最好、最容易吸收和理解知識的一年，也是他們思考人生、形成基本價值觀的關鍵時期，是一生中非常重要的歲月。

但是在這一年，全中國的學生都將他們所有的時間用于高考復習，用于反復的機械性訓練，這會嚴重影響他們的創造力、不利于他們的未來發展，也將影響整個國家未來的創新能力和競爭力。

湯超：

您說得非常好。我想如果高考不改變，中國的教育是沒有辦法發生本質變化的。

朱華偉：

關于高考，我有一個建議，就是首先取消選擇題。現在的高考數學有22道題，其中12道選擇題，每道題的順序和題型都是固定的。

我認為這種模式化的選擇題是完全沒有必要存在的。我們可以從取消選擇題開始，再逐漸取消填空題，最后只考解答題。

這樣的話，可以讓那些靠機械訓練取勝的學生不占優勢，也讓學生們可以在學習和考試中更注重獨立思考，能夠解決非模式化的問題。

國外有些大學的數學考試就是只有解答題，在中國剛剛恢復高考的時候，高考數學中也沒有選擇題，但是這些考試的效果也都很好，也能夠選拔出優秀的人才。

但是現實是，要改變高考太困難了。不說取消選擇題這樣的“大動作”，只改變一道題的順序或者題型，都會在社會上引起很大的反響。

夏志宏：

中國學生確實很擅長應試，舉例來講，每年都有很多中國學生申請到美國西北大學讀博，他們都會參加GRE數學考試，成績常常很高，大多在90%以上。但是每次GRE調整題型，中國學生的成績馬上直線下降，很多降到70%左右。

等新題型維持了幾年，大部分中國學生的成績又回升到90%以上。這就可以看出，中國學生的考試成績不能真正反映他們的數學水平，而只是訓練成果的體現。考慮到這一點，我們在錄取過程中也不會看重GRE考試成績。

所以我想，高考的題型不應該固定，甚至可以每一年都完全不一樣。

高考之外：特長學生的選拔

田剛：

正如朱校長所說，高考題目對于數學基本功和數學興趣的培養意義不大。

在北大數學學院，我們最好的學生大部分是通過競賽或者自主招生招收進來的，他們通常有更扎實的數學基本功，也對數學更感興趣，所以后期的發展也更好。相對來講，高考成績反而并不能預測學生的未來發展。

現在，國家調整了大學招生政策，推出了新的強基計劃。但我想，這些為特長學生而設立的渠道還是應該存在的。也就是說，我們需要在公平和選拔特長人才之間尋找平衡。

湯超：

我也接觸到不少通過競賽進入北大的學生，他們在特定學科的水平確實非常強，但是在其他專業上卻常常很弱。

朱華偉：

我想應該分兩方面看這個問題。一方面，現在非常偏科的學生其實是很少的。學生都要參加會考，每門課都要通過才能高中畢業。

并且比較好的學校通常不會讓學生放下所有事情，專門準備某一項競賽，因為這對學生的發展不利，風險也很大。

另一方面，如果一個孩子確實是某一方面的天才，我們其實應該鼓勵他（她）揚長避短，發揮自己的天賦，沒必要讓他（她）在機械重復的訓練中浪費時間。

深圳中學在2017年與華為合作，設立了“深中-華為特殊人才獎”，來招收和培養那些在某一方面特別有天賦的孩子，為他們提供非常有彈性的教學環境。

對于這樣的孩子，如果我們能為他們提供最好的支持，那么他們就有可能成為中國未來的大師，而如果要讓他們按部就班地去學每一個學科，可能會毀掉他們。

夏志宏：

對整個國家來講，能夠通過競賽渠道充分發揮自身特長的只是一小部分。我們或許應該在制度上做些改變，讓所有的學生都可以在一定程度上獲得個性化的發展，而不是全用一個模子來套，按同樣的標準來培養所有人。

美國數學教育的多樣性就要大得多，從初中開始，學生就可以按照自身的情況來選擇課程，到高中畢業時，同一個年級的學生之間，在數學水平上可能會有兩年的差距，其中那些比較優秀的學生，已經上過很多AP課程了。

湯超：

這種靈活的體制還有一個好處，喜歡數學的孩子自不必說，不喜歡數學的孩子也不會因為自己數學不好就感到自卑，擔心自己考不上好的大學，因為他們還可以通過其他的能力來進入大學。這對于培養學生的自信和良好的自我認知，也是很有幫助的。

我在美國做教授的時候，每年夏天都會收到很多高中生的來信，他們希望能夠到我的實驗室來呆一個夏天，體驗一下生物學研究，好知道自己對這方面是不是真的感興趣。

但是我回國這么久以來，從沒收到過任何一個國內中學生的這類申請。

夏志宏：

我也會收到這樣的申請。但我想美國高中生愿意進實驗室，也是因為這些經歷會對申請大學有幫助。

田剛：

確實如此，如果對高考有幫助，中國學生也會有這方面的興趣。其實科協組織的“英才計劃”也在做類似的事情，希望能鼓勵高中生進入大學實驗室，培養他們的專業興趣。

但是這個計劃目前的規模還不大，今年在數學方向只有120人左右參加。而且因為這個計劃與高考無關，所以學生的參與興趣比較有限。

楊金龍：

我也參與了英才計劃化學學科的工作。現在這個計劃還只在20所高校中進行，也只有這20所高校所在城市的高中生可以參與。參與計劃后，他們需要每兩個星期到大學里面去體驗一天。

但是在這兩年，中學生參加英才計劃的積極性是有所提高的，報名之后的競爭也比較激烈。其中一個原因是，現在有越來越多的學生準備到國外去讀本科，而這樣的經歷對他們有幫助。

夏志宏：

我們有沒有可能擴展這個計劃？是否可以不由科協集中管理，而是由各高校自行組織？

楊金龍：

目前來講，擴展的難度還是比較大的。一方面這個計劃需要科協的資金支持，另一方面，也需要高校方面具備一定的條件，要有有能力并且愿意做這些工作的教師。

數學的重要性：邏輯之根、科學之母

田剛：

很多普通人在日常生活中用不到高深的數學知識。那么大家認為數學的重要性何在？每個人都應該掌握的基本數學知識應該包括哪些？

湯超：

我覺得不管是哪個專業的學生，應該至少要學習微積分、線性代數和統計學。當然如果是文學、藝術類的專業，可以學得簡單一些，只了解基本的概念。

夏志宏：

我想學習數學最大的意義不是去掌握微積分、三角函數等具體的數學知識，而是一種思維訓練，讓你理解思維是一個嚴謹的過程，需要有根據地從A推到B，再從B推到C，而不能憑空插入沒有依據的東西。

除了思維的嚴謹性，數學訓練還可以培養人的抽象思維能力，可以去理解超出基本三維空間的事物。許多人在生活中確實不需要微積分，但是這種思維訓練對于任何人來說都是必不可少的，就像每個人都需要基本的人文素養一樣。

李增滬：

數學的應用可以說是無處不在的，比如人們最近談論很多的藥物有效性檢驗的“隨機雙盲大樣本”原理，其數學基礎就是“獨立性檢驗”理論。這些知識應該就屬于夏老師提到的“基本的人文素養”，現行高中數學中已經包含了這些內容。

楊金龍：

數學在各個學科中的重要性都越來越強。

舉例來講，化學原本是實驗科學，但是隨著理論化學的發展，我們已經開始希望能在量子力學的層次上去理解化學反應，這就需要許多物理理論和數學工具，包括薛定諤方程，以及與之相關的復函數、矩陣分析等數學工具。

此外，近年來機器學習快速發展，我們也開始用它來設計和分析化學反應，這其中的算法也是數學問題。

湯超：

生物學也是一樣。傳統的生物學都是描述性的，但是現在技術突飛猛進，收集到的數據、觀察到的現象越來越多，不借助數學工具是沒有辦法從中提取信息、理解其中規律的。所以現在，信息學、統計學、人工智能等都在生物中有所應用。

而我想更重要的是，生命現象是非常獨特的，我們可能還沒有找到適合它的數學語言。

我們知道，牛頓在研究行星運動的過程中創造了微積分。那么我們有沒有可能和數學家合作，創造出真正適合生命科學的數學語言，從而推動整個生命科學領域的發展？

田剛：

這一點非常重要。一個成熟的學科，一定有自己的基本理論，可以基于理論做出預測。在生物學領域，是不是也會出現這樣一些理論？

湯超：

我想會的。現在正是在生命科學領域中應用數學的好時期，已經有人在用數學方程來描述生物系統的魯棒性、理解生物系統的功能和設計原理等，類似的工作一定會越來越多。

夏志宏：

對于大數據、人工智能等新興技術，從本質上說，它們的算法問題其實是純粹的數學問題。

對于很多學科，包括計算機，也包括楊老師剛剛講到的化學，在這些學科創立之初，人們不覺得它有多么依賴于數學，但是當它逐漸發展，越來越成熟，人們卻發現它對數學的依賴性非常強。我想這正是數學的重要之處。

本科數學教育：如何開課？如何上課？

田剛：

各位老師招收的研究生能滿足您所在學科的數學要求嗎？或者說，我們的本科教育能培養出具有足夠數學能力的未來研究者嗎？

湯超：

我招收來自生物、數學、物理等很多專業的研究生，其中本科為數學和物理專業的學生通常數學很好，但是本科為生物學專業的學生常常不夠好。

當然也不是全部，也有少數生物學專業的學生出于自身興趣，在本科階段打下了比較好的數學基礎。

楊金龍：

我的感覺也類似。我自己是物理學背景，現在做計算化學研究。我招收的研究生既有物理學專業的，也有化學專業的，其中物理學背景的學生基本能滿足我們的數學要求，而很多化學背景的學生差距較大。

不過值得指出的是，本校（中國科大）化學專業培養出來的學生通常數學基礎還不錯。

一方面，科大一直都很重視數學和物理的基礎教育，化學專業的數學課程與物理學院的差別不大，都要上兩年多的數學課。

雖然很多學生會抱怨，科大的數學、物理課程太重了，但是我們還是會告訴他們，對于所有的理工科專業，扎實的數學基礎對于今后的人生、職業發展都是大有幫助的。

另一方面，我們對化學專業的課程做了一些調整，把理論化學、量子化學放在大二，讓學生們在比較早的時候就接觸到現代化學的理念，也理解數學知識對于化學的重要性。

這樣，他們自然會認真學習數學，也對化學本身有更深入的認識。

而在科大之外，大部分學校都沒有這樣的意識，他們對化學專業學生的教育還停留在傳統的框架上，除了物理化學專業等個別二級學科，大部分化學專業的本科生都不會學習量子化學，學生的數學水平也很不夠。

湯超：

你們這個思路很好。生物學專業的本科生常常沒有學習數學的動力，因為他們覺得數學與生物之間沒有什么關系。如果在數學的教學中能夠多舉一些生物學相關的例子，可能會增加他們學習數學的興趣。

在北大，我們開辦了一個整合科學實驗班，希望將數學、物理等整合到生命科學中去。我們請正在用數學、物理方法從事生命科學研究的老師來給學生們授課，希望能培養出新一代的生物學人才。

李增滬：

要在教學中實現學科交叉，要從鼓勵跨學科的科學研究開始。

如果不同學院之間的老師經常有合作，了解其他領域，同時也有更多研究者用數學工具來做各學科的研究，那么當這些老師給學生上課的時候，自然就會將這些理念傳達給學生，讓學生了解到數學在各個領域中的重要作用。也就是說，教師隊伍的素質是非常重要的。

田剛：

下一個想請大家討論的問題是，如何才能提高本科數學教育的質量？

對于數學學科本身，師資隊伍的基本功水平是非常重要的。在80年代剛剛恢復高考的時候，我們的數學研究水平跟國外有相當大的差距。

但是當時，有相當一部分大學教師曾經接受過非常嚴格的數學基本功訓練，所以他們還是培養出了一批相當優秀的數學專業的學生。

夏志宏：

我覺得要培養學生對數學的興趣，開設以學生為主體的討論班是很好的做法。我知道北大和南科大都有這樣的課程，請一位老師帶領幾名學生，就學生感興趣的問題進行討論。

楊金龍：

科大也有這樣的討論班，我們給大一學生開設為期一年的“科學與社會”課程，由一名導師帶10個左右的本科生，學生給出主題，老師參與討論。在數學相關的討論課中，學生們可以充分感受到數學與各行各業之間的關聯。

夏志宏：

本科教育中還有一個小問題，就是我們經常請一些名人來做報告，但是很多名人其實不擅長作報告，本科生根本聽不懂他們在講什么。

所以我們在邀請報告人的時候，應該不只考慮他們的學術成績和聲望，也要考慮他們作報告的能力，多提供一些本科生能夠聽懂、能夠受到啟發的數學相關的報告。

數學研究：中國的成長與挑戰

李增滬：

在過去20多年中，中國的數學研究是加速發展的，這和一批優秀學者回國發展有很大的關系，他們做出了很大的貢獻。

田剛：

確實如此，過去一段時間，我們的師資隊伍水平有所提高，并且開始培養出新一代的優秀學者。

我國數學家在幾何分析、代數幾何、復幾何、數論等方向上都做出了非常不錯的工作，也有希望形成一些具有特色的學派。但是需要指出的是，在引領性、創新性的前沿研究中，我們還與國外頂尖水平有一定的差距。

湯超：

原創性研究不足這個問題，在各個學科中都存在。

那么造成這個問題的根源是什么呢？是我們的教育體制不能培養創新的人才，是我們的科研體制不能鼓勵創新，還是我們的人才體制不能吸引人才？

夏志宏：

這幾方面的原因肯定都有。但我想就像朱校長談到的，應試教育對于創新型人才的培養和選拔是不利的。應試教育的優勢是培養整齊劃一的技術工人，而不是培養原創性的人才。

另外，我覺得不應該要求所有高校的數學老師都去做科研。許多學校的老師本身科研能力不高，他們完全可以把精力放在教學上，而如果大家都來做研究，非但不能做出好的成果，反而可能損害數學研究的風氣和氛圍。

田剛：

現在，北大、科大等學校已經可以培養出高水平的數學專業本科生，但在國際上，我們還是缺少對優秀人才的吸引力。

一方面，我們培養的優秀本科生還是更愿意出國深造，另一方面，也很少有國外的學生愿意來中國進修。結果是，國內研究生、博士后的整體水平和國際化程度都還有待提高。

夏志宏：

確實有很多中國學生到美國去讀數學專業的博士。

但我發現，這些學生中有很多并不真正對數學感興趣，他們只是把數學作為一個出國的跳板，到了美國之后會很快轉到商學、工業工程等其他專業。

但是美國學生不會這樣，他們來讀數學的博士，多半是真的對數學感興趣，想要從事數學研究工作。

總結：兩個建議

田剛：

最后，我們來總結一下前面的討論，為中國的數學教育提一點意見。當然剛才朱校長已經提了一個具體的意見，就是去掉高考的12道選擇題。除此之外，我們或許還應該給高校更多的自主權。

夏志宏：

確實如此，應該讓每所學校按自己的方式來管理和運行，這樣才會有多樣性，才會有創造性。

李/湯/楊/朱：