丘成桐：感情的培養是做大學問最重要的一部分

　　演講人：丘成桐

　　時 間：2010年12月25日

　　地 點：海南·三亞

　　演講人簡介：

　　丘成桐，1949年出生于廣東汕頭。1983年獲得素有數學諾貝爾獎之稱的菲爾茲獎，迄今仍是華人數學家中唯一的獲獎者。1979年后，丘成桐把主要精力轉向振興祖國數學事業上，先后創建了香港中文大學數學所、中科院晨興數學中心、浙江大學數學中心，并親自擔任這些研究機構的負責人。他還為這3個研究機構募集資金1.5億元。他是當今世界公認的最著名的國際數學大師之一，被國際數學界公認為四分之一世紀里最有影響的數學家。他現任美國哈佛大學講座教授、國際頂尖數學雜志《微分幾何雜志》主編，所獲榮譽還有：瑞士皇家科學院的克雷福特獎、美國國家科學獎、美國國家科學院院士、中國科學院首批外籍院士、俄羅斯科學院外籍院士、臺灣中研院院士、世界華人數學家大會主席、中華人民共和國國際科學技術合作獎。

　　我年少時，并不喜歡讀書，在香港元朗的平原上嬉戲玩耍，也在沙田的山丘和海濱游戲。與同伴在一起，樂也融融，甚至逃學半年之久。真可謂倘佯于山水之間，放浪形骸之外。

　　“感情的培養是做大學問最重要的一部分。”

　　在這期間，唯一的負擔是父親要求我讀書練字，背誦古文詩詞，讀近代的文選，也讀西方的作品。

　　但是，當時我喜愛的不是這些書，而是武俠小說，從梁羽生到金庸的作品都看了一遍。由于這些小說過于昂貴，只能從鄰居借來，得之不易。借到手后，驚喜若狂。父親認為這些作品文字不夠雅馴，不許我看，所以我只得躲在洗手間偷偷閱讀。

　　除了武俠小說外，還有《薛仁貴征東》、《七俠五義》和一些禁書，都是偷偷的看，至于名著如《水滸傳》、《三國演義》和《紅樓夢》等則是公開的閱讀，因為這是父親認為值得看的好書。他要求我看這些書的同時，還要將書中的詩詞記熟。這事可不容易，雖然現在還記得其中一些詩詞，例如黛玉葬花詩和諸葛亮祭周瑜的文章等，但大部分還是忘記了。

　　《三國演義》和《水滸傳》很快就引起我的興趣，但是讀《紅樓夢》時僅看完前幾回，就沒有辦法繼續看下去。一直到父親去世后，才將這本書仔細的讀過一遍，也開始背誦其中的詩詞。由于父親的早逝、家庭的衰落，與書中的情節共鳴，開始欣賞而感受到曹雪芹深入細致的文筆，絲絲入扣地將不同的人物、情景，逐步描寫出舊社會的一個大悲劇。

　　四十多年來，我有空就看這部偉大的著作，想象作者的胸懷和澎湃豐富的感情，也常常想象在數學中如果能夠創作同樣的結構，是怎樣偉大的事情。

　　我個人認為：感情的培養是做大學問最重要的一部分。

　　汪中在《漢上琴臺之銘》中有句云：“撫弦動曲，乃移我情。”

　　《琴苑要錄》：“伯牙學琴于成連，三年而成，至于精神寂寞，情之專一，未能得也……伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林谷冥，群鳥悲號，仰天長嘆曰：‘先生將移我情。’”

　　這一段話，對我深有感觸。立志要做大學問，只不過是一剎那間事。往往感情澎湃，不能自已，就能夠將學者帶進新的境界。

　　父親去世以前，我學習了不少知識，也讀了不少好文章。但他的去世，卻深深地觸動了我的感情。我讀《紅樓夢》，背誦秦漢和六朝的古文，讀司馬遷的自傳、報任安書、李陵答蘇武書、陶淵明的歸去來辭等等文章，這些文章的內容都深深地印記在我的腦海中。

　　文天祥說：“風檐展書讀，古道照顏色。”足可以描述我當時讀書的境況。除了中國文學外，我也讀西方的文學，例如歌德的《浮士德》。

　　這本書描述浮士德的苦痛，與《紅樓夢》相比，一是天才的苦痛，一是凡人的苦痛。描寫苦痛的極至，竟可以說得上是壯美的境界，足以移動人的性情。

　　就這樣，由于父親的去世和閱讀文學的書籍，這大半年感情的波動，使我做學問的興趣忽然變得極為濃厚，再無反顧。

　　凡人都有悲哀失敗的時候，有人發憤圖強，有人則放棄理想以終其身。

　　黃仲則詩：“結束鉛華歸少作，屏除絲竹入中年，茫茫來日愁如海，寄語羲和快著鞭。”

　　詩雖感人，思想畢竟頹廢，使人覺得陰云蔽天。難怪黃仲則一生潦倒，終無所獲。

　　反觀太史公司馬遷，慘受腐刑，喟然而嘆“身毀不用矣”，卻完成了傳誦千古的《史記》，適可藏諸名山大都。他在自傳中說：“自周公卒，五百歲而有孔子，孔子卒后，至于今五百歲，有能紹明世，正易傳，繼春秋，本詩書禮樂之后，意在斯乎，意在斯乎。小子何敢讓焉。”太史公的挫敗和郁結，反而使他志氣更為宏大。

　　四十年來我研究學問，處事為人，屢敗屢進，未曾氣餒。這種堅持的力量，當可追索到當日感情之突破。我一生從未放棄追尋至真至美的努力，可以用元稹的詩來描述：“曾經滄海難為水，除卻巫山不是云。”

　　當遇到困難時，我會想起韓愈的文章：“茍余行之不迷，雖顛沛其何傷。”

　　我也喜歡用左傳中的兩句來勉勵自己：“左輪朱殷，豈敢言病。”此句出自左傳晉齊鞍之戰： “卻克傷于矢，流血及屨，未絕鼓音，曰：‘余病矣。’張侯曰：‘自始合，而矢貫余手及肘，左輪朱殷，豈敢言病?吾子忍之……師之耳目，在吾旗鼓，進退從之，此車一人殿之，可以集事，若之何其以敗君之大事也。’”

　　簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經》和《論語》一樣，言短而意深。

　　做研究生時，我有一個想法，微分幾何畢竟是牽涉及分析﹙即用微積分為工具﹚和幾何的一門學問，幾何學家應該從分析著手研究幾何。況且微分方程的研究已經相當成熟，這個研究方向大有可為。雖然一般幾何學家視微分方程為畏途，我決定要將這兩個重要理論結合，讓幾何和分析都表現出它們內在的美。

　　在柏克萊的第一年我跟隨Morrey教授學習偏微分方程，當時并不知道他是這個學科的創始者之一。從他那里我掌握了橢圓形微分方程的基本技巧。在研究院的第二年我才開始跟隨導師陳省身先生學習復幾何。

　　畢業后，在我的學生和朋友Schoen、Simon、鄭紹遠、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson、Peter Li等人的合作下，逐漸將幾何分析發展成一個重要的學科，也解決了很多重要的問題。

　　這是一種奇妙的經驗，每一個環節都要花上很多細致的推敲，然后才能夠將整個畫面構造出來，正如曹雪芹寫作《紅樓夢》一樣。

　　尼采說：“一切文學，余愛以血書者。”

　　曹雪芹說：“字字看來皆是血，十年辛苦非尋常。”

　　我們眾多朋友創作的幾何分析，也差不多花了十年才成功奠基。不敢說是“以血書成”，但每一次的研究都很花費工夫，甚至廢寢忘餐，失敗再嘗試，嘗試再失敗，經過不斷的失敗，最后才見到一幅美麗的圖畫。

　　簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經》和《論語》一樣，言短而意深。有些定理，孤芳自賞。有些定理卻引起一連串的突破，使我們對數學有更深入的認識。每一個數學家都有自己的品味和看法，我本人則比較喜歡后一類數學。

　　當定理證明后，我們會覺得整個奮斗的過程都是有意思的，正如智者垂竿，往往大魚上鉤后，又將之放生，釣魚的目的就是享受與魚比試的樂趣，并不在乎收獲。

　　從數學的歷史看，只有有深度的理論才能夠保存下來。千百年來，定理層出不窮，但真正名留后世的結果卻是鳳毛麟角，這是因為有新意的文章實在不多，有時即使有新意，但是深度不夠，也很難傳世。

　　當年我看武俠小說，很是興奮，也很享受，但是很快就忘記了。在閱讀有深度的文學作品時，卻有不同的感覺。有些武俠小說雖然很有創意，但結構不夠嚴謹，有很多不合理的元素，與現實相差太遠，最終不能沁人心脾。

　　我們幾個朋友在研究和奮斗過程中，始終不搞太抽象的數學，總愿意保留大自然的真和美。

　　王國維評古詩十九首：“昔為倡家女，今為蕩子婦，蕩子行不歸，空床難獨守。”“何不策高足，先據要路津，無為久貧賤，軻長苦辛。”以為其言淫鄙，但從美學的觀點，卻不失其真。

　　好的數學也應當能接觸到大自然中各種不同的現象，這樣才能夠深入，才能夠傳世。

　　數學創作也如寫小說，總不能遠離實際。《紅樓夢》能夠扣人心弦，乃是因為這部悲劇描述出家族的腐敗、社會的不平、青春的無奈，是一個普羅眾生的問題。好的數學也應當能接觸到大自然中各種不同的現象，這樣才能夠深入，才能夠傳世。

　　我的研究工作，深受物理學和工程學的影響，這些科學提供了數學很重要的素材。

　　廣義相對論就是一個重要的例子。1973年在斯坦福大學參加一個國際會議時，我對某個廣義相對論的重要問題發生興趣，它跟幾何曲率和廣義相對論質量的基本觀念有關，我鍥而不舍地思考，終于在1978年和學生Schoen一同解決了這個重要的問題。這些與相對論有關的幾何問題始終使我喜悅。

　　也許這是受到王國維評詞的影響，我認為數學家的工作不應該遠離大自然的真和美。直到現在我還在考慮質量的問題，它有極為深入的幾何意義。沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構，就能夠獲得深入的結果。廣義相對論中的品質與黑洞理論都有很美的幾何意義。

　　其實西方文藝復興的一個重要反思就是復古，重新接受希臘文化真與美不可割裂的觀點。中國古代文學的美和感情是極為充沛的，先秦兩漢的思想和科技與西方差可比擬。清代以來，美術文學不發達，科學亦無從發展。讀書則以考證為主，少談書中內容，不逮先秦兩漢唐宋作者的熱情澎湃。若今人能夠回復古人的境界，在科學上創新當非難事。

　　除了看《紅樓夢》外，我也喜歡看《史記》、《漢書》。這些歷史書不單發人深省，文筆通暢，甚至啟發我做學問的方向。

　　由于史家寫實，氣勢磅礡，蕩氣回腸，使人感動。歷史的事實教導我們在重要的時刻如何做決斷。做學問的道路往往是五花八門的，走什么方向卻影響了學者的一生。復雜而現實的歷史和做學問有很多類似的地方，歷史人物做的正確決斷，往往能夠提供學者選擇問題一個良好的指南針。

　　王國維說學問第一境界“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”。做好的工作，總要放棄一些次要的工作，如何登高望遠，做出這些決斷，大致上建基于學者的經驗和師友的交流上。然而對我而言，歷史的教訓卻是很有幫助的。

　　我剛畢業時，蒙幾何學家西門斯邀請到紐約石溪做助理教授。當時石溪聚集了一群年青而極負聲望的幾何學家，在度量幾何這個領域上可說是世界級重鎮。我在那里學了不少東西。

　　一年后又蒙奧沙文教授邀請我到斯坦福大學訪問，接著斯坦福大學聘請我留下來。但是當時斯坦福大學基本上沒有做幾何學的教授，我需要做一個決定。

　　這時記起《史記》敘述漢高祖的事跡。劉邦去蜀，與項羽爭霸，屢敗屢戰。猶駐軍中原，無意返蜀，竟然成就了漢家四百多年的天下。對我來說，度量幾何的局面太小，而斯坦福大學能夠提供的數學前景宏大得多，所以決定還是留在斯坦福做教授，與 Schoen、Simon合作。現在想來，這是一個正確的決定。

　　如上所言，我的想法和一般同學的想法不大一樣，也不見得是其他一流數學家的想法。但是有一點是所有學者都有的共同點：努力學習，繼承前人努力得來的成果，不斷地向前摸索。

　　我年少時受到父親的鼓勵，對求取知識有濃烈的興趣，對大自然的現象和規律都很好奇，想去了解，也希望能夠做一些有價值的工作，傳諸后世。

　　我很喜愛以下兩則古文：

　　孔子：“君子疾沒世而不稱焉。”

　　曹丕《典論論文》：“蓋文章，經國之大業，不朽之盛事……是以古之作者，寄身于翰墨，見意于篇籍，不假良史之辭，不托飛馳之勢，而聲名自傳于后。”

　　立志當然是一個好的開始，但是如何做好學問卻是一個重要的問題，我有幸得到好的數學老師指導。當我學習平面幾何時，我才知道數學的美，也詫異于公理邏輯的威力。

　　因為對幾何的興趣，我做習題時都很成功，也從解題的過程中產生了濃厚的好奇心。我開始尋找新的題目，去探討自己能夠想象的平面幾何現象。每天早上坐火車上學時我也花時間去想，這種練習對我以后的研究有很大的幫助。

　　有了理想的方向，還需要尋找好的問題。

　　中學時的訓練對同學們都有很大的幫助，但修能卻需要浸淫于書本，從聽課和師友交流中，可以發現那些研究方向最為合適。找到理想的方向后，就需要勇往直前。好在，培正中學出了不少數學名家。我們中學的老師在代數和數論方面的涉獵比較少，培正同學們在這方面的成就也相對地比較弱，由此可以看到中學教育的重要性。

　　屈原說：“紛吾既有此內美兮，又重之以修能。”文章的格調和對學術的影響力與“內美”有關，可以從詩詞、禮、樂、古文、大自然的環境中培養吸收。

　　有了理想的方向，還需要尋找好的問題。西方哲人亞里斯多德﹙Aristotle﹚在名著《形而上學》一書中說：“人類開始思考直接觸目不可思議的東西而或驚異……而抱著疑惑，所以由驚異進于疑惑，始發現問題。”驚異有點像驚艷，但這種驚異一方面需要多閱歷，一方面需要感情充沛，才能夠產生。

　　空間曲率的概念對我具有極大的吸引力，我從廣義相對論中知道所謂Ricci曲率的重要性。通過愛因斯坦方程，它描述物質的分布，這個方程的簡潔和美麗使我詫異。

　　我認為了解Ricci曲率是了解宏觀幾何的最重要一環，但幾何茫茫，無從著手。有一天很高興地發現Calabi先生在1954年時有一篇文章，敘述在復幾何的領域中，Ricci曲率有一個漂亮的命題，但他卻沒有辦法證明這個命題。當時我很興奮，但也覺得它不大可能是真實的，因為這個命題實在太美妙了。所有年輕的朋友都這么說，甚至我的導師也這么說。

　　陳先生甚至認為這個研究方向的意義不大，我卻固執地認為對Calabi猜測總要找出一個水落石出的答案。直到有一天，經過大量的嘗試后，我才發覺從前走的方向完全是錯誤的，于是反過來企圖證明這個猜想。但要證明它，卻需要有基本的分析能力，我和我的朋友鄭紹遠花了不少工夫去建立跟這個問題有關的工作，終于我在一九七六年完成了這個重要猜想的證明。

　　這個猜想在一九七六年全部完成，我同時應用它解決了代數幾何里好幾個基本問題。毫無疑問，這是一個漂亮的定理，也打開了幾何分析的一個大門。

　　當時我剛結婚，正在享受人生美好的時刻，也獨自欣賞這個剛完成的定理的真實和美麗，有如自身的個體融入大自然里面。當時的心境可以用下面兩句來描述：“落花人獨立，微雨燕雙飛。”

　　由這個定理引起的學問，除了幾何分析上的Monge-Ampere方程外，在代數幾何上獨樹一幟，以后在弦學理論成為一個重要的宇宙模型。

　　在解決Calabi猜想的同時，有一天我碰見從前在柏克萊的同學Meeks先生。他是一個嬉皮士，兩手各摟抱著一個少女，在系里的走廊上高高興興地走來。但我覺得此人極有才華，建議與他合作去解決一個極小流形的古老問題。

　　我們用拓撲學的辦法解決了這個問題，反過來又用得到的結果，解決了拓撲學上一些重要的問題，再加上我的同學Thurston的重要工作，竟然解決了拓樸學上著名的Smith猜想。1976年可說是我收獲極為豐富的一年，我那年剛結婚，剛搬到洛杉磯，生活未算安定。由此可知，做學問沒有最安定的環境也可以成功的。

　　在代數幾何得到一定成功后，我接觸到很多代數幾何學家，也開始了解這個學科的走向。 Calabi猜想是關于度量的猜測，我開始比較度量幾何和復纖維叢上的度量問題，我猜想纖維叢也有類似于Calabi猜想中的度量，同時和纖維朿的穩定性有關，Uhlenbeck和我花了很長一段時間才將這個問題全部解決。﹙在這期間英國的Simon Donaldson用不同的方法解決了二維的情形，并且很快就完成了高維空間中這個定理的重要情形。﹚

　　在解決這個問題后，我建議我的朋友Witten考慮這個定理的物理意義，他當時認為這個定理的物理意義不大，但一年后他改變了想法，寫了一篇文章解釋它們在弦論上的作用。直到如今，這個結構在弦論上仍占據著很重要的位置。

　　這篇文章花了Uhlenbeck和我很長的時間，可說是極為艱苦的奮斗才完成的。Uhlenbeck來Princeton訪問我時，為了尋找這個問題的解法，竟然關在房間里三天之久。

　　我和Uhlenbeck的工作以后被推廣，尤其是加上我的朋友Hitchin引進的HiggsField以后，成為代數幾何和算術幾何中強有力的工具。

　　Calabi猜想的一個重要結論是，代數空間有很強的拓樸限制，包括Miyaoka- Yau不等式的成立，從而有代數流型的剛性結果。這個結果被我應用而解決了古老的Severi猜想。在這個基礎上，我猜測某些代數空間有更一般的剛性結果。我并提出用調和映射的方法來解決這個猜想。

　　其實在更早的時候，我和Schoen已經在調和映射做了不少工作。

　　在1984年弦理論成為理論物論的重要一門學科以后，我以前做的好幾項工作都受到理論物理學家的歡迎。我也深受物理學家對數學洞察力的影響，我有十多位跟隨我的博士后，他們都是物理學博士。我從他們那里學習物理。

　　最令我驚訝的一次是，我的博士后Brian Greene跑到我的辦公廳，向我解釋他最新的發現，就是在Calabi-Yau空間中，存在所謂鏡對稱的觀點，這個發現對代數幾何有極大的沖擊，影響至今。它的結論至為漂亮，從不同角度解釋了代數幾何里百年來不解的現象，但物理學家沒有辦法給出一個證明，六年后在眾多數學家努力的基礎上，劉克峰、連文豪和我終于找到一個滿意的證明。

　　但是我覺得我們對鏡對稱這個現象還是沒有得到深入的了解，兩年后Strominger、Zaslow和我終于找到這個對稱的幾何解釋，引起了一連串重要的突破，可是，鏡對稱在數學上到現在還沒有嚴格的證明。Zaslow是跟隨我的博士后，他以后成為西北大學的大教授。

　　當時我和他還做了一個重要的工作。從弦學上膜的觀點，我們找到一個公式﹙Yau- Zaslow公式﹚。這個公式可以用來計算K3曲面上的有理曲線的個數，公式由數論中的某些著名的函數給出，這是數論函數出現在計算曲線數目的第一次，以后很多代數幾何學家繼續這個研究，將這個公式推廣到更一般的情形。

　　與物理學家合作是愉快的經驗，可以有跳躍性的進展，而又不停的去反思，希望能夠從數學上解釋這些現象，在這個過程中往往推進了數學的前沿。

　　過去二十多年，我也花了一些工夫去做應用數學的工作，一方面和金芳蓉在圖論上的合作，一方面和我弟弟共同研究控制理論。近年來更和顧險峰等合作做圖像處理的研究。

　　這些工作都和我從前研究的幾何分析有關，尤其是我和Peter Li研究的特征函數的問題。起源于當年我在斯坦福研究調和函數的梯度估計。我還記得我傍晚時躲在辦公室里，試驗用不同的函數來算這些估值，舍不得去看斯坦福校園落日的景色。

　　斯坦福的校園確是漂亮，黃昏時在大教堂的廣場，在長長的回廊上散步。看著落日镕金，青草連天的景色，心情特別舒暢。我早年的工作都在這里孕育而成。

　　除了Calabi猜想外，還有正質量猜想的證明。1979年的夏天，我和Schoen住在他女朋友Los Altos的家里，白天我們將這個猜想的證明逐步寫出來，到了晚上十時多才回家去游泳池游泳。在這一段日子里，我們也將正數值曲率空間的理論完成。

　　做科研確實需要付出代價，但它的快樂無窮。

　　先父的心愿是：“尋孔顏樂處，拓萬古心胸。”

　　我只知自得其樂，找尋我心目中宇宙的奧秘。

　　“衣沾不足惜，但使愿無違。”