近期，美國賓夕法尼亞州立大學劉朝星教授課題組從理論上提出壓電響應的突變可以表征一系列二維拓撲相變,從而第1次揭示了壓電系數和拓撲相變間的關系。相關成果以“Piezoelectricity and Topological Quantum Phase Transitions in Two-Dimensional Spin-Orbit Coupled Crystals with Time-Reversal Symmetry”為題，發表在國際綜合期刊，如下。
拓撲學（topology）研究物體在連續變化下的行為。如果一個物體可以連續地變成另一個物體，那么它們拓撲等價；反之，拓撲不等價。在絕緣物質相（phase of matter）的研究中，連續變化對應的是絕熱（adiabatic）變化（即變化不會關閉能隙），因而兩個絕緣相是否拓撲等價由絕熱變化的存在決定。如果一個相變發生在兩個拓撲不等價的絕緣相之間，那么它一定會關閉能隙。這種相變被稱為拓撲相變（topological phase transition）。
拓撲相變一般會引發某種物理響應的突變，因此實驗上可以通過測量這些突變來確認拓撲相變的發生。一個眾所周知的例子是量子霍爾效應中不同霍爾平臺間的相變是拓撲相變；它會引發霍爾電導的突變。另外，量子自旋霍爾絕緣相和普通絕緣相之間的拓撲相變會引發兩端點電導（two-terminal conductance）的突變。很多突變的物理響應（包括上述兩個，以及很多其他的例子）都是由電磁場引發的。那么，除了材料對電磁場的響應之外，是否還有其他類型的物理響應在拓撲相變發生時會出現突變，從而成為拓撲相變的一個實驗信號？
為了回答這個問題，本工作研究了壓電響應在二維材料產生拓撲相變的變化，發現壓電系數的確會出現一個突變，從而表征拓撲相變的發生。壓電響應是指壓力（而非電磁場）引發的電響應，由壓電系數來衡量；壓電響應的突變指的是壓電系數產生了突變。本工作研究的系統是有時間反演對稱性、有自旋軌道耦合且無相互作用的二維晶體。這類晶體可以有17種不同的平面群結構，其中10種結構由于有二維宇稱（或垂直于平面的二重旋轉）因而不允許壓電響應的存在，而本工作則考慮了其他7種存在壓電響應的晶體結構下出現拓撲相變的情況。在這些晶體結構中，我們發現壓電響應和谷霍爾效應（valley Hall effect）之間存在著緊密的聯系。
作為一個簡單的例子，我們考慮一個二維體系，其低能有效理論可以被兩個的帶能隙的二維狄拉克（Dirac）哈密頓量來描述（見圖1所示）。具有這種性質的體系可以在大量二維材料中找到，例如，二維材料XY2 （X=Mo/W，Y=S/Se）[1]。這兩個狄拉克哈密頓量分別位于動量K和-K（即兩個谷），并被時間反演對稱聯系。帶能隙的狄拉克哈密頓量會在K和-K附近分別產生相反符號的貝利曲率（Berry curvature），從而給出相反的谷陳數（valley Chern number）。這里我們將谷陳數定義作在K和-K點附近的貝利曲率的積分之差，所以其本身并不一定是量子化的。由霍爾電導和陳數之間的正比關系，我們可以知道沿X方向的電場可以在Y方向上產生霍爾電流。但由于時間反演對稱性，在K和-K附近產生的霍爾電流方向一定大小相同方向相反 （如圖1a中的代表電場和電流方向的箭頭所示），所以總的霍爾電流為零。
不過，這個體系中可以出現所謂的谷霍爾效應，而這個效應可以通過一些光學測量或者輸運測量的手段來觀測到[2,3]。對于二維狄拉克哈密頓量，應變的作用在低能下可以等效成一個贗規范場（pseudo-gauge field）。通過測量一些非均勻應變的二維材料中由于贗磁場（pseudo-magnetic field）而產生的朗道能級，贗規范場的效果已經得到實驗證實[4]。
現在考慮一個隨時間變化的應變張量u，相對應的贗規范場可以給出一個贗電場，如圖1b中的所示（,而是應變張量u的某個分量）。與通常的電場不同的是，這個贗電場在時間反演操作下反向，所以在K和-K一定是方向相反的。再加上貝利曲率在K和-K方向相反，所以應力最終在K和-K產生方向相同的霍爾電流，如圖1b所示。原則上這個電流可以直接在實驗上測量，那么這個電流到底對應著什么樣的響應呢？事實上，通過這個機制產生的電流 j 描述的是電子的位置在多大程度上偏離均勻形變，因而 j 將改變一個表面的總電荷（非電荷密度）并貢獻一部分電極化P隨時間的變化（中改變表面電荷的部分）。因此前面的討論意味著隨時間變化的應變會產生隨時間變化的電極化，而這正對應著壓電效應。
在上述的例子中，我們只考慮了低能電子對于壓電效應的貢獻。而在實驗中，壓電效應，還可以來源于高能的電子能帶，以及離子的極化，所以總的壓電系數并不都與拓撲有關。但是，我們注意到，當狄拉克哈密頓量的能隙合上再重新打開時，一個拓撲量子相變會發生，而在K和-K附近谷陳數的變化（注意，這里不是陳數本身）會是量子化的。由于能隙關閉只跟低能電子有關而且低能電子的壓電效應所產生的電流是由谷陳數所決定的，所以我們預言總的壓電系數在經過這個相變時也會有一個突變，而這個突變直接正比于體系的拓撲不變量的變化。基于以上簡單的模型所給出的物理圖像，本工作分類了所有7種有壓電效應的晶格結構中所有可能的能隙關閉的情況，并發現，如果能隙關閉發生在兩個絕緣態之間而且僅需要一個微調參數，那么它一定改變Z2拓撲不變量或谷陳數。這些拓撲相變一定會引起壓電常數的突變，從而說明壓電常數的突變可以被作為這些二維拓撲相變的實驗證據。
根據這個理論，本工作預言這種壓電常數的突變可以在碲化汞量子阱和鋇錳銻中被觀測到。如圖2（a）所示，在碲化汞量子阱中，能隙的關閉可以通過調節量子阱的厚度實現。這個能隙關閉的過程已經被之前的實驗證實是一個改變Z2拓撲不變量（從自旋量子霍爾絕緣體到普通的絕緣體）的拓撲相變。本工作預言這個拓撲相變會導致壓電系數的突變（如圖2（b）），這個理論預言有待實驗檢驗。
本工作揭示了壓電系數的突變和二維拓撲相變間的關系，并提出了一個普適的理論框架來描述它，因此將有助于人們更好地理解壓電響應在拓撲物理里的意義。