考慮到純四次孤子和常規孤子物理的相似性，同年，Runge等人理論上研究了脈沖在包含正四階色散和增益的介質中的自相似傳播［2］。在四階正色散情況下，脈沖向新的漸進解演化，其時域和頻域曲線與二階色散情況下顯著不同。理論結果表明，隨著傳輸距離增加，脈沖保持其形狀不變，強度與T＾｛4／3｝成正比，瞬時頻率和T＾｛1／3｝成正比。該自相似脈沖的寬度和強度都呈指數增長，并且總增益的3／7用于增加脈沖寬度，4／7用于增加脈沖強度。
脈沖在介質中傳播時，由于非線性效應會產生新的頻率成分。通常，脈沖的前沿紅移，脈沖的后沿藍移。對于自相似脈沖而言，其瞬時頻率正比于T＾｛1／3｝，即瞬時頻率的3次方正比于時間T（？ω3∝T）。另外，在只有四階色散情況下，群延時beta＿1與頻率變化的三次方成正比（beta＿1＝beta＿4？ω3）。所以，局部群延時與時間T呈線形關系。結果是脈沖在傳播過程中保持T＾｛4／3｝的強度分布不變。
圖4 理論和模擬自相似演化輸出時域曲線和頻域曲線實線：理論結果；圓圈：數值模擬結果
為了驗證理論推測，作者基于分步傅里葉法模擬了脈沖的演化，模擬結果與理論推測非常吻合（如圖4所示）。脈沖光譜如圖4b所示，呈現雙峰結構。并且由于色散為正，脈沖的前沿藍移，脈沖的后沿紅移。
圖5為不同脈沖寬度下振幅和脈沖寬度隨傳播距離的演化，表明四階色散中的自相似脈沖的振幅和脈寬與入射脈沖形狀和入射脈沖寬度無關。這與二階色散情況下一致。
圖5不同脈沖寬度下振幅和脈沖寬度隨傳播距離的演化
基于正四階色散中的自相似演化，作者模擬了一臺激光器系統，如圖6a所示，腔內包含7m長的無源四階色散光纖、1m長的有源四階色散光纖、可飽和吸收體、輸出耦合器和濾波器。輸出脈沖形狀和光譜如圖6b和6c所示，時域上為三角形脈沖，頻域上為雙峰結構，模擬結果與理論分析完全匹配。
圖6 四階自相似光纖激光器概念模型
上述兩項工作研究了四階色散和克爾非線性的相互作用，表明純四次孤子和四階自相似脈沖與傳統的孤子和自相似在物理上具有相似性，為孤子能量和脈沖寬度擴展以及自相似的產生提供了新的自由度，在超快光纖激光器、片上頻率梳、超連續產生等方面有重要意義。