麥克斯偉方程在時間和空間具有一定的對偶性(duality),比如空間上高斯光束的衍射與時間上高斯脈沖在具有負群速度色散的光纖中傳輸就具有這樣的關系。科學家們對光的空間傳輸性質已經進行了幾百年的研究,取得了豐碩成果。通過考察時空對偶性,借鑒光的空間傳輸現象,有利于理解甚至發現嶄新的由超短脈沖參與的超快現象。
比如,根據斯涅爾定律,光在空間介質分界面會發生反射和折射現象,那么我們可以問:(1)相對應的時域界面是什么?(2)脈沖在時域界面又有哪些有趣的 “反射”和“折射”現象?
圖1空間折反射和時域折反射示意圖
空間折反射和時域折反射類比如圖1所示。空間折反射過程中,反射光和折射光的波矢量發生改變,而頻率保持不變;時間折反射則表現出相反的特性,折反射過程中光頻率變化而波矢量守恒。
2015年,G． P． Agrawal等人研究了色散介質中脈沖在時域邊界的反射和折射現象。他們將傳播常數在入射脈沖中心頻率做泰勒展開至二階色散項,忽略脈沖自身的非線性效應,計算時域折反射過程脈沖和光譜演化如圖2所示:白色虛線為時域邊界的位置。
圖2a顯示,脈沖在時域折反射過程中,大部分能量發生折射進入時域邊界,伴隨著脈沖寬度減小和群速度降低;反射脈沖寬度和入射脈沖相等,對這些現象的解釋可以通過色散曲線和波矢量守恒條件得到。折反射前后光譜的演化如圖2b所示,入射光譜頻移至兩個不同的頻率處,分別對應時域的折射和反射。
圖2時域折反射現象的脈沖演化(a)和光譜演化(b);虛線:時域邊界 [1]
利用折反射前后波矢量守恒條件和材料的色散曲線,可以計算反射脈沖和入射脈沖的中心波長。在時域折反射過程中,材料的色散曲線在確定反射和折射脈沖的頻移量時起著重要作用。對于反射脈沖而言,頻移量由脈沖相對時域邊界的群速度和材料群速度色散共同決定。正色散導致脈沖紅移,負色散導致藍移;群速度色散越小,頻移量越大;在色散零點附近將不發生時域反射。
對于折射脈沖,在任何情況下,折射脈沖頻移量都小于反射脈沖頻移量。將時域上反射和折射的頻移表達式寫成空間上折射定律和反射定律的形式,發現,當由折射率突然變化引起的傳播常數的變化量足夠大時,等效折射角失去物理意義,發生全內反射(如圖3所示)。時域脈沖在時域邊界處被全部反射,光譜全部頻移至反射波中心頻率處。
圖3時域全反射現象的脈沖演化(a)和光譜演化(b)[1]
2016年,G． P． Agrawal等人在時域上全內反射的基礎上,利用兩個時域界面構建了時域波導,與單個時域界面不同之處在于,脈沖在到達第二個時域界面時,會再次經歷全內反射,中心頻率逆向頻移至入射脈沖中心頻率,如此反復進行,將脈沖捕獲在兩個時域邊界之內(如圖4所示)。
圖4 (左)脈沖在時域波導中的演化,(右)頻域的演化 [2]
模擬結果顯示,隨著傳播距離的增加,群速度色散使得脈沖出現明顯的展寬。在時域邊界處,入射脈沖和反射脈沖的光譜干涉導致周期性的波紋結構。這與空間波導中傳輸層尺寸遠大于光束寬度時發生的現象類似。在時域波導的理論研究中,引入無量綱參數V,以此確定時域波導中支持的模式數量,當V<(m+1)π/2時,支持m個模式;當m=0時,即V<π/2,時域波導為單模波導。時域波導的單模和多模傳輸如圖5所示,單模傳輸時,脈沖在時域邊界之間保持穩定,光譜也保持穩定,但中心頻率移動至相對群速度為零處,以保證脈沖和時域邊界以相同的群速度運行;多模傳輸時,時域出現多峰結構,在頻域表現為以單模傳輸頻率為中心對稱分布的雙峰結構;模式數量越多,時域強度峰越多,頻域雙峰間隔越遠。
圖5模式階數分別為0、2和10的時域以及頻域演化 [2]
空間單模波導得到了廣泛的應用,單模光纖就是典型的例子。實驗中將光束耦合進入單模光纖時,光束與光纖的軸對準和角度對準嚴重影響了耦合效率。時域波導中也面臨著同樣的問題。圖6顯示了當輸入脈沖形狀與單模脈沖形狀有差異時,脈沖的時域和頻域演化。
在開始階段,脈沖和時域邊界發生強烈相互作用,大量能量以色散波的形式進入時域邊界的“包層”,隨后被整形成單模形狀穩定運行,類似于空間的角度對準。光譜的演化圖中,輸入光譜與時域波導的基模光譜重疊的部分被引導,經過一段距離的振蕩之后保持穩定。類似于光束與光纖的軸對準。
圖6 3．5ps的脈沖進入10ps時域波導的演化(a);被引導的光譜成分的演化(b)[2]
除了光束與光纖的軸和角度外,光束的寬度與光纖纖芯的匹配同樣影響著耦合效率。G． P． Agrawal等人研究了不同脈寬的基模脈沖入射到時域單模波導后的現象,結果如圖7所示。
對于入射到時域單模波導中的脈沖,無論其脈寬和形狀如何,均會被整形。脈沖寬度較小時(圖7a),群速度色散導致脈沖展寬,大量能量流出時域波導,少部分能量自整形成為單模脈沖穩定于時域波導內;脈沖寬度較大時(圖7b),時域波導之外的能量大量流失,波導內的能量自整形成單模脈沖最終穩定。
圖7 寬度2．5ps(左)和10ps(右)的脈沖在時域波導中的演化 [2]
對時域波導的理論研究和數值模擬得到了很多與空間波導類似的結果。然而,在實驗中實現時域波導依然是一個難題,主要問題是如何控制脈沖對于時域邊界的相對速度,G． P． Agrawal等人提出利用同向傳播的微波脈沖驅動的行波電光相位調制器產生兩個移動的邊界。
另一個替代方法是,利用高能量矩形泵浦脈沖的泵浦-探測裝置,通過交叉相位相調制產生時域界面,這種情況下,將探測脈沖入射到兩個泵浦脈沖中間,泵浦脈沖的兩個邊緣形成波導邊界,選擇色散曲線合適的光纖,就能實現時域波導,為上述時域折反射理論提供可靠的實驗驗證。
參考文獻
[1] B． W． Plansinis, W． R． Donaldson, and G． P． Agrawal, “What is the temporal analog of reflection and refraction of optical beams?” Phys． Rev． Lett． 115, 183901 (2015)．
[2] Plansinis, Brent, W, et al． Temporal waveguides for optical pulses[J]． Journal of the Optical Society of America, B． Optical Physics, 2016．