天下奇談：不知道產品的不合格數量不應使用超幾何分布

　　一個朋友發給我一篇文章，對其中的幾個觀點表示迷惑不解，我看后不由大跌眼鏡，我不知道該為自己的無知汗顏還是該為基礎教育悲哀！這里沒興趣再長篇大論了，就針對幾個關鍵問題發表一下個人觀點，孰是孰非由大家評判去吧。作為一個普通教師，我左右不了中國的基礎教育，但也不希望一線教師們受誤導進而誤人子弟！

　　1、不知道產品不合格數能否用超幾何分布？

　　這是個荒唐的問題，因為產品抽檢試驗屬于超幾何分布還是二項分布與是否知道產品的不合格數量毫無關系。為便于理解，這里舉一個小樣本總量的例子，假設有10件產品，其不合格率為p，現從這10件產品中隨機抽取兩件產品，試計算剛好有一件不合格品的概率f(p)。

　　這里可以把10 換成任意正整數N。根據條件，10件產品中有10p件不合格，顯而易見有

　　如果求使得f(p)取得最大值的p0，按照高考的標準求解方法，可以用求導的辦法得出p0，也可以按照二次函數的最值問題計算。接下來的問題不必我多說，大家看我過去的推文就知道怎么回事了。

　　請問這是不是超幾何分布？計算有問題嗎？為什么要假設取2件產品而不是3件或4件？因為取幾件就會出現關于p的幾次多項式，三次以上的多項式求最值就比較復雜了。

　　2、什么時候可以用二項分布近似替代超幾何分布？

　　如果是無放回式抽檢，一定是超幾何分布，但為什么有時候又可以當成獨立重復試驗呢？因為當樣本總量很大時，如果抽檢的樣本量相對于總量很小，先抽檢對后抽檢抽到不合格品的概率影響不大，這時可以將抽檢試驗近似看成獨立重復實驗。問題是多大的樣本總量算大？多小的抽檢樣本量算小樣本量？這的確要視具體情況而論。但有一點可以肯定，如果市場上某種商品的不合格品率高達10%，恐怕沒有多少顧客愿意購買這種商品。如果你喜歡吃的某種食品不合格率達到10%，你還敢吃這樣的食品嗎？因此，如果隨機抽檢中，抽檢的樣本量達到了樣本總量的10%，這樣的抽檢量不能視為小樣本抽檢，換句話說，用二項分布替代超幾何分布是不合適的。正因為如此，這類題通常的表述方式是，大批產品中抽檢N件。那么樣本總量可不可以具體給出來呢？當然可以，但只要你當成二項分布來做，給不給出總量都不影響解題。所以關鍵的問題是多大的樣本總量算大？這是個帶有一定主觀性的問題，因人因產品性質而異。在我看來，抽檢的樣本占樣本總量不超過0.01-0.05時，可以將超幾何分布近似看成二項分布。

　　3、2018年全國高考理科I卷第20題可否當成二項分布？

　　專家認為，由于說的是大批量產品，所以可以將不合格品率看成每件產品都為不合格品的概率，我不知道專家學的是哪家的概率，無論產品的量有多大，只要這批產品已經生產出來了，哪件產品合格哪件產品不合格就是確定的，不確定的是不知道會抽到哪件產品，隨機性正是由此而來。每件產品要么合格要么不合格，每件產品不合格的概率是多少是荒謬的說法！說明命題人壓根沒搞清楚抽檢試驗中的隨機性是相對于什么而言的。如果一定要說每件產品不合格的概率均為p，正確的說法是某機器生產每件產品的不合格率均為p，這個隨機性是相對于機器的生產而言的，如果機器的性能穩定，它生產出來的產品是否合格是不確定的，所以可以說生產每件產品不合格的概率是多少。只要產品被生產出來了，每件產品是否合格就是確定的，與所謂的大數定律風馬牛不相及。既然是要對成箱的產品做檢驗，這就意味著是對生產出來的產品做檢驗，何來每件產品為不合格品的概率均為p？

　　我們姑且退一步，暫且認同專家的說法，每件產品的不合格率都是p。現在問題來了，這批產品需要分箱包裝，每箱200件，然后從200件一箱的產品中抽檢20件，從題目的標準解答實際可以看出，解答比較的是200件產品抽取20件后余下的產品全檢還是不檢的費用。我們再退一步，假設題目指的是余下的全部產品全部抽檢還是全部不檢，有一個問題誰能回答？這些產品是如何分箱包裝的？是隨機地每200件一箱還是將不合格品均勻放到各個箱子里？如果是后者，說明已經知道哪些產品合格哪些產品不合格了。可見一定是隨機裝箱，那么如何保證每箱產品的不合格率是一樣的？如果不一樣，憑什么根據其中一箱的不合格品率決定對所有的產品檢測或全部不檢測？對于200件一箱的產品如果還說成每件產品不合格的概率均為p恐怕太荒謬了。常識告訴我們，即使廠家生產的產品質量是相對穩定的，也不可能保證每箱產品的合格率都是一樣的。這里實際涉及到了兩次隨機，一次是隨機裝箱，另一次是從裝有200件產品的箱子中隨機抽檢20件產品。

　　如果專家還堅持自己的觀點，我也就無話可說了。這世道死不認賬的事司空見慣！早就見怪不怪了。