微積分三板斧

林群（中國科學院院士、計算數學專家）

　　微積分之所以重要，一是奇特，一是有用。它解決生活中難題，如高鐵的瞬時速度、建筑的面積，這些本屬“無窮”的計算，不可能實現，但微積分卻創造出奇跡，將這些“無窮”的計算變成舉手之勞。

　　而傳統教材卻將此驚天成果，表達為數百的定理與公式、無盡的證明與推理，令人望而生畏。我們抓綱放細，將之歸結為三把斧或三步曲：

　　一、關鍵的第一步：瞬時速度怎么算——假傳萬卷書，真傳一案例，一本萬利

　　以高鐵為例，若車速都是相同的，則速度=，若車速在變化，要測瞬時（即每一時刻）速度，就出現，怎么算？

　　只能變通為，由一小段路程的平均速度，來算，因為在短時間之內，瞬時速度與平均速度相差不大（沒有時間去加速太多∴速度變化不會大）。

　　為此，大膽設想兩者之間的

　　差別=|平均速度-瞬時速度|，與時間長短成比例

　　或

　　差別≤時間的一個倍數

　　——（1）

　　（此情況在多例中發生，故靠得住——見后面例題。）

　　這時事情顯得比較清楚：當時間很短，差別就很小。

　　二、功夫在第二步：曲邊圖形的面積怎么算

　　讓（1）×時間：

　　|路程-瞬時速度×時間|≤(時間)2的一個倍數

　　——（2）

　　則相應會有

　　|路程-速度圖的面積|≤(時間)2的一個倍數

　　——（3）

　　（或速度圖的面積≈某一時刻速度×時間）

　　最后，反證法又導致基本定理

　　路程=速度圖的面積

　　——（4）

　　由此能推出（不超四行）

　　三、奇特的第三步：泰勒公式，將非線性世界盡量“線性化”

　　以上三步，又稱微積分三板斧，可譯成以下三公式（5）（6）（7）。

　　我們提倡數學文風：先文字后符號，先解釋后公式，先講理后定理。

　　它表明：面積既然都寫出來了，那就是存在；此外，它必等于f(x+h)-f(x)，那就是唯一。

　　結果，油餅面積（二維）變油條高（一維），奇特、有用！