有理曲面奇點計算新進展

奇點的快速準確計算是曲線曲面拓撲判定的關鍵，也是曲線曲面求交算法突破精度和穩定性的關鍵，因此奇點計算是計算幾何最重要的基礎問題之一。實現有理曲面奇點的快速穩定計算是計算代數與計算幾何交叉領域長期以來的公開問題。近日，數學機械化實驗室賈曉紅研究員與中國科學技術大學陳發來教授等合作解決了該公開問題，相關工作被計算機圖形學頂級期刊ACM Transactions on Graphics發表，并受邀于2023年計算機圖形學國際頂級會議ACM Siggraph做全文報告。

在計算代數幾何理論中，奇點可通過Groebner基或結式法進行分析。對于有理曲面的奇點計算，歷史上的個別相關符號算法均未給出奇點的自然參數、難以計算尖點及孤立奇點、不能計算奇點的階數、容易產生冗余結果、在曲面參數化具有復雜基點時失效，并且往往難以數值化。2008年，陳發來、王文平等將動曲線方法用于理曲線奇點的快速穩定計算，并提出將該方法用于奇點解消計算的猜想，賈曉紅與Ron Goldman于2012年完成了該猜想的證明。然而，動曲面理論是否可類似地應用于曲面的奇點計算？該問題被代數幾何學家、美國數學會會士David Cox等提出，并在2016年國際計算代數與幾何建模大會（CAGM2016）被三位大會主席（Laurent Buse 、Ron Goldman、Hal Schenck）在大會綜述中特別指出“仍是公開問題”。

賈曉紅與陳發來等的最新工作完整解決了該公開問題，利用動平面理論，證明了有理曲面的動平面簇與曲面奇點的參數、重數之間的內蘊聯系，并給出一般有理曲面奇點的參數和階數的快速穩定算法。該算法可計算對象完整（包括所有自交線、尖線、孤立奇點及其階數）、不產生冗余結果、在參數曲面具有復雜基點時有效，且在數值計算下穩定。進一步地，基于該奇點算法，作者對計算機圖形學的三個基礎問題：曲面網格化、渲染、曲面求交，突破了它們在奇點鄰域內網格化錯亂、渲染錯誤、交線分支躍遷的困難，給出了它們在奇點鄰域正確、穩定的高效算法。

ACM Transactions on Graphics審稿意見認為“This is an ambitious paper with ambitious goals, and it certainly improves the state of the art in computing such singularities. ” “This paper is timely and relevant. The bottom line is to accept it.”

參考文獻：